解聯立方程式 x + y − 3z = 0、2x(6 − x) + 4y(3 − y) + 6z(0.5 − z) = 0，以及 x² + 2y² + 3z² = 21。

Step-by-step solution

1. 1

   把第二式展開，並把線性部分與二次部分分開。

   $12x - 2x^2 + 12y - 4y^2 + 3z - 6z^2 = 0$

   $\Longrightarrow \ 12x + 12y + 3z = 2x^2 + 4y^2 + 6z^2$

   右邊的二次組合恰好就是 $2\left(x^2 + 2y^2 + 3z^2\right)$——與第三式裡出現的是同一個組合。這個「巧合」正是整道題的題眼。

2. 2

   代入第三式，把二次項全部消掉。 由於 $x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 21$：

   $12x + 12y + 3z = 2(21) = 42$

   看來非線性的式子就此變成了線性方程式。

3. 3

   用第一式把它化成只含 z 的式子。 由 $x + y = 3z$：

   $12(3z) + 3z = 42 \ \Longrightarrow \ 39z = 42 \ \Longrightarrow \ z = \frac{42}{39} = \frac{14}{13}$

4. 4

   歸結為關於 y 的一個二次方程式。 有了 $z = \tfrac{14}{13}$，就得到 $x + y = 3z = \tfrac{42}{13}$，以及

   $3z^2 = 3\cdot\frac{196}{169} = \frac{588}{169}, \qquad x^2 + 2y^2 = 21 - \frac{588}{169} = \frac{3549 - 588}{169} = \frac{2961}{169}$

   （注意 $21 \times 169 = 3549$；這裡若寫成 $3559$，錯誤會一路傳到根上去）。把 $x = \tfrac{42}{13} - y$ 代入並兩邊同乘 $169$：

   $1764 - 1092y + 507y^2 = 2961 \ \Longrightarrow \ 507y^2 - 1092y - 1197 = 0$

5. 5

   解這個二次方程式。 兩邊除以 $3$ 得 $169y^2 - 364y - 399 = 0$，判別式為

   $364^2 + 4(169)(399) = 132496 + 269724 = 402220 = 26^2 \cdot 595$

   於是

   $y = \frac{364 \pm 26\sqrt{595}}{338} = \frac{14 \pm \sqrt{595}}{13}$

   判別式不是完全平方數（$595 = 5 \cdot 7 \cdot 17$），所以根是無理數——凡是算出 $7/13$ 這類漂亮分數的答案，一定是哪裡錯了。

6. 6

   回代求 x 並驗證兩組解。 由 $x = \tfrac{42}{13} - y = \dfrac{28 \mp \sqrt{595}}{13}$，兩組解是

   $\left(\frac{28 - \sqrt{595}}{13},\ \frac{14 + \sqrt{595}}{13},\ \frac{14}{13}\right) \approx (0.27749,\ 2.95328,\ 1.07692)$

   $\left(\frac{28 + \sqrt{595}}{13},\ \frac{14 - \sqrt{595}}{13},\ \frac{14}{13}\right) \approx (4.03020,\ -0.79943,\ 1.07692)$

   把任一組代入原來的三個式子，殘差都在 $10^{-14}$ 以下。