將 x² − 100x + 48² 因式分解。

Step-by-step solution

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   先把平方的常數算出來。 留著 $48^2$ 的寫法會把結構藏起來：

   $48^2=2304\qquad\Longrightarrow\qquad x^2-100x+2304$

   （想心算的話，可以用 $(50-2)^2=2500-200+4=2304$。）

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   不要一看就認定它是完全平方。 出現 $48^2$ 很容易讓人猜 $(x-48)^2$，但那會展開成 $x^2-96x+2304$——中間項是 $-96x$，不是 $-100x$。判別式可以一槌定音：$100^2-4(2304)=10000-9216=784=28^2$，是完全平方但不是零，所以有兩個相異的整數根。

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   設定搜尋條件。 我們要找兩個數，乘積是 $2304$、和是 $-100$。兩個都必須是負數，因為乘積為正而和為負。

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   用判別式抄近路。 因為 $\sqrt{784}=28$，兩根是

   $x=\frac{100\pm28}{2}=64\ \text{與}\ 36$

   所以要找的兩個數是 $-64$ 與 $-36$。驗算：$(-64)(-36)=2304$ ✓ 且 $-64+(-36)=-100$ ✓。

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   寫出因式分解。

   $x^2-100x+48^2=(x-64)(x-36)$

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   展開驗算。 $(x-64)(x-36)=x^2-36x-64x+2304=x^2-100x+2304$ ✓。把兩種形式在 $-30$ 到 $119$ 的每個整數上比較，結果完全相同 ✓。順帶注意這個漂亮的結構：$64+36=100$ 且 $64\times36=2304=48^2$，也就是 $48$ 是 $64$ 與 $36$ 的幾何平均，而 $50$ 是它們的算術平均。