展開並化簡 (1 − 2x)(5 − 3x) + (4 − x)²。

Step-by-step solution

1. 1

   **用分配律展開乘積。**第一個括號的每一項乘上第二個括號的每一項，注意正負號：

   $(1-2x)(5-3x)=5-3x-10x+6x^{2}=6x^{2}-13x+5$

   最後一個乘積 $(-2x)(-3x)=+6x^{2}$ 是正的，因為負負得正。

2. 2

   **用差的平方公式展開平方。**取 $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$，其中 $a=4$、$b=x$：

   $(4-x)^{2}=16-8x+x^{2}$

   結果有三項 —— 寫成 $16-x^{2}$ 或 $16+x^{2}$ 就漏掉了關鍵的中間項 $-8x$。

3. 3

   把兩個展開式相加。

   $\left(6x^{2}-13x+5\right)+\left(16-8x+x^{2}\right)$

4. 4

   按次數合併同類項。

   $6x^{2}+x^{2}=7x^{2},\qquad-13x-8x=-21x,\qquad5+16=21$

   得到

   $7x^{2}-21x+21$

5. 5

   **驗算並留意公因數。**在 $x=1$ 時：原式是 $(-1)(2)+9=7$，答案給出 $7-21+21=7$ ✓。這個恆等式在 $-30$ 到 $29$ 的每個整數處都成立 ✓。三個係數都含有因數 $7$，所以結果也等於 $7\left(x^{2}-3x+3\right)$；括號內二次式的判別式是 $9-12=-3<0$，在實數範圍內無法再分解，而整個式子恆為正。