用橫式求積 (3x² + 4xy + 5y²)(7x² + 9y²)。

Step-by-step solution

1. 1

   先看出結構。 兩個因式都是齊次的——第一個每一項總次數都是 $2$，第二個每一項總次數也是 $2$——所以每個部分積的總次數都是 $4$。於是只可能出現 $x^4,\ x^3y,\ x^2y^2,\ xy^3,\ y^4$ 這幾格，這本身就是一個好用的自我檢查。

2. 2

   把三項式的各項分配到 $7x^2$ 上。 $3x^2\cdot 7x^2=21x^4$、$4xy\cdot 7x^2=28x^3y$、$5y^2\cdot 7x^2=35x^2y^2$。

3. 3

   再分配到 $9y^2$ 上。 $3x^2\cdot 9y^2=27x^2y^2$、$4xy\cdot 9y^2=36xy^3$、$5y^2\cdot 9y^2=45y^4$。

4. 4

   把六個單項式依型式分組。 $21x^4$、$28x^3y$、$36xy^3$、$45y^4$ 各自單獨一項；兩個 $x^2y^2$ 型的則是 $35x^2y^2$ 與 $27x^2y^2$。

5. 5

   合併後依 $x$ 的降冪寫出答案。 $35x^2y^2+27x^2y^2=62x^2y^2$，所以答案是 $21x^4+28x^3y+62x^2y^2+36xy^3+45y^4$。

6. 6

   取兩個點驗算。 取 $x=y=1$：$(3+4+5)(7+9)=12\cdot 16=192$，而 $21+28+62+36+45=192$。取 $x=2,y=-1$：$(12-8+5)(28+9)=9\cdot 37=333$，而 $336-224+248-72+45=333$。