求直線 y = −4x + 2.5 與曲線 y = 3.34x/(1 + 2.34x) 的交點。

Step-by-step solution

1. 1

   把兩個 $y$ 的表示式劃上等號。 在交點處兩個式子給出相同的高度，所以

   $-4x+2.5=\frac{3.34x}{1+2.34x}.$

   記下限制 $x\ne-\frac{1}{2.34}\approx-0.4274$，分式曲線在那裡有鉛直漸近線 —— 任何落在那裡的根都必須捨棄。

2. 2

   去分母。 兩邊同乘 $1+2.34x$：

   $(-4x+2.5)(1+2.34x)=3.34x.$

   把左邊逐項展開：

   $-4x-9.36x^{2}+2.5+5.85x=-9.36x^{2}+1.85x+2.5.$

   交叉項是 $-4x\cdot2.34x=-9.36x^{2}$ 與 $2.5\cdot2.34x=5.85x$；把 $-4x+5.85x$ 合併就得到 $1.85x$。

3. 3

   整理成標準的二次式。 把 $3.34x$ 移到左邊：

   $-9.36x^{2}+1.85x-3.34x+2.5=0\;\Longrightarrow\;-9.36x^{2}-1.49x+2.5=0,$

   再乘以 $-1$ 讓首項係數為正：

   $9.36x^{2}+1.49x-2.5=0.$

4. 4

   套公式解。 取 $a=9.36$、$b=1.49$、$c=-2.5$：

   $\Delta=1.49^{2}-4(9.36)(-2.5)=2.2201+93.6=95.8201,\qquad\sqrt{\Delta}=9.788774,$

   $x=\frac{-1.49\pm9.788774}{18.72}\ \Longrightarrow\ x\approx0.4433106\ \text{或}\ x\approx-0.6024986.$

   兩者都不等於要排除的 $-0.4274$，所以都保留。

5. 5

   求出 $y$ 值，並代回分式方程式檢驗。 用直線 $y=-4x+2.5$：

   $x=0.4433106\Rightarrow y=0.726758,\qquad x=-0.6024986\Rightarrow y=4.909994.$

   改代入曲線：$\frac{3.34(0.4433106)}{1+2.34(0.4433106)}=0.726758$ ✓、$\frac{3.34(-0.6024986)}{1+2.34(-0.6024986)}=4.909994$ ✓。拿另一個式子（而不是用來算 $y$ 的那一個）來檢查，這才算是真正的驗算。