解不等式 x² log₂x < 100000000。

Step-by-step solution

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   先確定定義域。 $\log_{2}x$ 要求 $x>0$，所以整個討論都在 $(0,\infty)$ 上進行。任何把負的 $x$ 或 $x=0$ 納進來的答案，在分析開始之前就已經錯了。

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   先單獨處理 $0<x\le 1$——這幾乎不花力氣。 在 $(0,1)$ 上 $\log_{2}x<0$ 而 $x^{2}>0$，所以乘積是負的，當然小於 $10^{8}$；例如 $x=0.5$ 時左式是 $-0.25$。在 $x=1$ 時左式恰好是 $0$。所以整個區間 $(0,1]$ 都滿足這個不等式。

3. 3

   證明左式在 $x>1$ 上嚴格遞增。 對 $h(x)=x^{2}\log_{2}x=\dfrac{x^{2}\ln x}{\ln 2}$ 微分得 $h'(x)=\frac{2x\ln x+x}{\ln 2}=\frac{x\left(2\ln x+1\right)}{\ln 2},$ 只要 $\ln x>-\tfrac12$ 它就是正的，因此對所有 $x>1$ 都成立。嚴格遞增的函數恰好只會穿越 $10^{8}$ 這條水平線一次，所以解集必定是單一區間 $(0,x_{0})$。

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   把交點夾住。 計算 $h$ 的值：$h(2900)=96\,730\,450.73,\qquad h(2945)=99\,948\,390.39,\qquad h(2946)=100\,020\,529.48,\qquad h(3000)=103\,956\,721.07.$ $h(x)-10^{8}$ 的正負號在 $2945$ 與 $2946$ 之間翻轉，所以 $x_{0}$ 就落在那裡。這一步要小心：像 $2954$ 附近的估計已經越過邊界了，因為 $h(2954.5)=100\,634\,817$。

5. 5

   用二分法逼近交點。 把區間 $[2945,2946]$ 反覆二分，得到 $x_{0}=2945.715457.$ 驗算一下：$x_{0}^{2}=8\,677\,239.5517$、$\log_{2}x_{0}=11.524402364$，兩者相乘是 $100\,000\,000.0000$——所以 $x_{0}$ 確實是 $x^{2}\log_{2}x=10^{8}$ 的根。

6. 6

   組合出解集。 把兩段合起來，$0<x<2945.715457,$ 也就是 $x\in\left(0,\,2945.715457\right)$，取到小數點後六位。端點不含在內，因為原不等式是嚴格的。