解方程式 x^2 = 2x + 17。

Step-by-step solution

1. 1

   整理成標準式。 兩邊同減 $2x$ 與 $17$，讓其中一邊為零：

   $x^{2}-2x-17=0$

   於是 $a=1$、$b=-2$、$c=-17$。搬過去的兩項都要變號。

2. 2

   算判別式。

   $\Delta=(-2)^{2}-4(1)(-17)=4+68=72$

   因為 $\Delta=72>0$，有兩個相異實根。它不是完全平方數，所以在整數範圍內無法因式分解——沒有一對整數乘積是 $-17$ 而和是 $-2$，因為 $17$ 是質數。

3. 3

   套公式解。

   $x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{72}}{2(1)}=\frac{2\pm\sqrt{72}}{2}$

4. 4

   先化簡根號再約分。 把最大的平方因數提出來：$72=36\cdot2$，所以 $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$。於是

   $x=\frac{2\pm6\sqrt{2}}{2}=\frac{2\left(1\pm3\sqrt{2}\right)}{2}=1\pm3\sqrt{2}$

   $\sqrt{72}$ 不化簡就看不出公因數 $2$，也就約不乾淨。

5. 5

   兩根都驗證。 根與係數關係：兩根之和應為 $-b/a=2$，而 $\left(1+3\sqrt2\right)+\left(1-3\sqrt2\right)=2$ ✓。乘積應為 $c/a=-17$，而 $1^{2}-\left(3\sqrt2\right)^{2}=1-18=-17$ ✓。數值上 $x\approx5.2426$ 與 $x\approx-3.2426$，代入 $x^{2}-2x-17$ 的殘差都小於 $10^{-11}$ ✓。