化簡 (9 + 2i)(9 − 2i)，並把答案寫成複數。

Step-by-step solution

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   先認出這一對是共軛複數。 兩個因式只差在虛部的符號，所以互為共軛：$z = 9 + 2i$ 與 $\bar z = 9 - 2i$。值得先看出這個型式，因為答案保證是實數，而且有捷徑可走。

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   用平方差公式。 由 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$，取 $a = 9$、$b = 2i$：

   $(9+2i)(9-2i) = 9^2 - (2i)^2 = 81 - 4i^2$

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   套用 $i^2 = -1$。 這一步才是符號翻轉的關鍵，跳過就會得到錯誤答案 $77$：

   $81 - 4(-1) = 81 + 4 = 85$

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   逐項展開再驗一次。 不走捷徑，直接用 FOIL：

   $81 - 18i + 18i - 4i^2 = 81 + 0i + 4 = 85$

   中間的 $-18i$ 與 $+18i$ 互相抵消——這個抵消正是共軛相乘必為實數的原因。

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   把答案寫成複數。 $85 = 85 + 0i$：虛部是零。一般而言 $z\bar z = |z|^2$，這裡 $|z|^2 = 9^2 + 2^2 = 81 + 4 = 85$ ✓，是第三個獨立的佐證。