解聯立方程式 x₂ + 4x₃ = −4、x₁ + 3x₂ + 3x₃ = −2、3x₁ + 7x₂ + 5x₃ = 6。

Step-by-step solution

1. 1

   寫出增廣矩陣，並固定變數的順序。 讓 $x_1,x_2,x_3$ 與常數各佔一行，第一式沒有 $x_1$，所以它開頭是一個 $0$：$\left[\begin{array}{ccc|c} 0&1&4&-4\\ 1&3&3&-2\\ 3&7&5&6 \end{array}\right]$

2. 2

   交換兩列，讓第一個樞紐元是 1。 把 $R_1$ 與 $R_2$ 互換，左上角就出現領先的 $1$，後面也不會冒出分數：$\left[\begin{array}{ccc|c} 1&3&3&-2\\ 0&1&4&-4\\ 3&7&5&6 \end{array}\right]$

3. 3

   把第一個樞紐元下方消成零。 $R_3 \leftarrow R_3-3R_1$ 得 $[3,7,5\mid 6]-3[1,3,3\mid -2] = [0,-2,-4\mid 12]$，所以第三列變成 $0,-2,-4\mid 12$。第二個樞紐元在 $R_2$ 裡已經是 $1$ 了。

4. 4

   把第二個樞紐元下方消成零。 $R_3 \leftarrow R_3+2R_2$ 得 $[0,-2,-4\mid12]+2[0,1,4\mid-4] = [0,0,4\mid4]$。再乘上 $\tfrac14$ 得 $[0,0,1\mid1]$，於是 $x_3 = 1$——矩陣現在是列梯形形式。

5. 5

   把樞紐元上方也消成零，完成回代。 $R_2 \leftarrow R_2-4R_3$ 把 $[0,1,4\mid-4]$ 變成 $[0,1,0\mid-8]$；$R_1 \leftarrow R_1-3R_3$ 把 $[1,3,3\mid-2]$ 變成 $[1,3,0\mid-5]$；最後 $R_1 \leftarrow R_1-3R_2$ 得 $[1,0,0\mid19]$。

6. 6

   讀出唯一解並驗證。 化簡後的矩陣是單位矩陣再擴增一行 $(19,-8,1)$，所以 $x_1=19$、$x_2=-8$、$x_3=1$。三個原式都檢查一次：$-8+4(1)=-4$；$19+3(-8)+3(1)=19-24+3=-2$；$3(19)+7(-8)+5(1)=57-56+5=6$。三個未知數配三個樞紐元，代表解是唯一的。