把 a 視為實參數，解不等式 a x² + 2x + 1 > 0 求 x，並寫出所有情形。

Step-by-step solution

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   先把判別式算好備用。 對 $f(x) = ax^2 + 2x + 1$（在 $a \ne 0$ 時），

   $\Delta = 2^2 - 4a(1) = 4 - 4a = 4(1-a)$

   $\Delta$ 的正負與 $a$ 的正負合起來決定一切，所以分類就沿著這兩個量來切。

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   先處理退化情形 a = 0。 二次項消失，不等式變成一次的：

   $2x + 1 > 0 \quad\Longrightarrow\quad x > -\frac{1}{2}$

   忘記 $a$ 可能是零，是含參數題目最經典的漏洞——首項係數並沒有保證不為零。

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   情形 a > 1（開口向上、沒有實根）。 此時 $\Delta = 4(1-a) < 0$ 而且 $a > 0$，拋物線開口向上且不與 x 軸相交，於是

   $ax^2 + 2x + 1 > 0 \ \text{ 對所有 } x \in \mathbb{R}$

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   情形 a = 1（完全平方）。 $\Delta = 0$ 且 $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$，除了唯一的零點以外處處為正：

   $x \ne -1$

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   情形 0 < a < 1（開口向上、有兩根）。 此時 $\Delta > 0$，兩根為

   $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4-4a}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1-a}}{a}$

   開口向上的拋物線在兩根之外為正：

   $x < \frac{-1-\sqrt{1-a}}{a} \quad \text{或} \quad x > \frac{-1+\sqrt{1-a}}{a}$

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   情形 a < 0（開口向下）。 此時 $1 - a > 1$，所以 $\sqrt{1-a} > 1$ 且 $\Delta > 0$：仍有兩個實根。開口向下的拋物線在兩根之間為正。又因為除以負的 $a$ 會把大小順序倒過來，$\tfrac{-1+\sqrt{1-a}}{a} < 0 < \tfrac{-1-\sqrt{1-a}}{a}$，所以解是

   $\frac{-1+\sqrt{1-a}}{a} < x < \frac{-1-\sqrt{1-a}}{a}$

   用 $a = -1$ 檢查：兩根是 $\tfrac{-1 \pm \sqrt2}{-1}$，也就是 $-0.414214$ 與 $2.414214$，而在中點 $x = 1$ 時式子的值是 $-1 + 2 + 1 = 2 > 0$，確認了這個區間。