化簡 ((a^2 - 2a + 4)/(a + 2))^2 - ((a^2 + 2a + 4)/(a - 2))^2。

Step-by-step solution

1. 1

   先看出分子裡藏著的立方公式。 兩個分子都是立方公式裡的那個二次因式：

   $a^3+8=(a+2)(a^2-2a+4),\qquad a^3-8=(a-2)(a^2+2a+4)$

   所以 $\dfrac{a^2-2a+4}{a+2}=\dfrac{a^3+8}{(a+2)^2}$，而 $\dfrac{a^2+2a+4}{a-2}=\dfrac{a^3-8}{(a-2)^2}$。看出這一點，後面的代數才不會失控。

2. 2

   把兩個平方都通分到公分母 $(a^2-4)^2$。 因為 $(a+2)(a-2)=a^2-4$，

   $\left(\frac{a^2-2a+4}{a+2}\right)^{2}=\frac{(a^2-2a+4)^2(a-2)^2}{(a^2-4)^2},\qquad \left(\frac{a^2+2a+4}{a-2}\right)^{2}=\frac{(a^2+2a+4)^2(a+2)^2}{(a^2-4)^2}$

3. 3

   把兩個分子相減並展開。 兩個乘積都是六次多項式；乘開後逐項相減，得到

   $(a^2-2a+4)^2(a-2)^2-(a^2+2a+4)^2(a+2)^2=-16a^5-160a^3-256a$

   所有偶次項都消掉了 —— 這是個有用的訊號，說明兩半在 $a\mapsto -a$ 之下確實互為鏡像。

4. 4

   把分子完全因式分解。

   $-16a^5-160a^3-256a=-16a\bigl(a^4+10a^2+16\bigr)=-16a\,(a^2+2)(a^2+8)$

   $a^2+2$ 與 $a^2+8$ 在實數範圍內都不能再分解，所以到此為止；另外注意它們跟 $(a^2-4)^2$ 之間沒有可約去的因式，所以當 $a\ne\pm 2$ 時這個分式已經是最簡分式。

5. 5

   取兩個 $a$ 值做數值檢驗。 取 $a=1$，原式為 $\left(\tfrac{3}{3}\right)^2-\left(\tfrac{7}{-1}\right)^2=1-49=-48$，化簡後的式子給出 $\dfrac{-16(1)(3)(9)}{9}=-48$。取 $a=3$，原式為 $\left(\tfrac{7}{5}\right)^2-\left(\tfrac{19}{1}\right)^2=1.96-361=-359.04$，化簡後給出 $\dfrac{-16(3)(11)(17)}{25}=-\dfrac{8976}{25}=-359.04$。兩次都完全吻合。