解不等式 (x + 1)(x − 4) ≤ 1/4。

Step-by-step solution

1. 1

   先把所有項移到一邊。 只有當乘積是與零比較時，因式形式才好直接讀出結論，而這裡右邊是 $\tfrac14$ 而不是 $0$ —— 所以左邊那個現成的因式分解暫時派不上用場。展開並整理：

   $x^{2}-3x-4\le \frac14\quad\Longrightarrow\quad x^{2}-3x-\frac{17}{4}\le 0$

2. 2

   去掉分數。 乘上正數 $4$，不等號方向不變：

   $4x^{2}-12x-17\le 0$

3. 3

   用公式解求兩根。

   $x=\frac{12\pm\sqrt{144-4(4)(-17)}}{8}=\frac{12\pm\sqrt{144+272}}{8}=\frac{12\pm\sqrt{416}}{8}$

   因為 $416=16\times 26$，所以 $\sqrt{416}=4\sqrt{26}$，於是

   $x=\frac{12\pm 4\sqrt{26}}{8}=\frac{3\pm\sqrt{26}}{2}$

4. 4

   利用開口方向定解集。 $x^2$ 的係數是 $4>0$，拋物線開口向上，所以它在兩根之間才 $\le 0$（含端點，因為不等號不是嚴格的）：

   $\boxed{\frac{3-\sqrt{26}}{2}\le x\le \frac{3+\sqrt{26}}{2}}$

5. 5

   給出小數形式，並取點檢驗。 由 $\sqrt{26}\approx 5.0990$，這個區間約為 $[-1.0495,\ 4.0495]$。取中點 $x=1.5$ 檢驗：$(2.5)(-2.5)=-6.25\le 0.25$ ✓。取 $x=5$：$(6)(1)=6>0.25$ ✗，正如預期地落在區間之外。

6. 6

   注意端點與那個「想當然的答案」有多接近。 因式形式很容易誘人答成 $-1\le x\le 4$，可那是 $(x+1)(x-4)\le 0$ 的解。多出來的 $\tfrac14$ 把兩個端點各向外推了大約 $0.05$ —— 幅度不大，但精確端點是無理數，不是 $-1$ 和 $4$。