對所有實數 x 解 x²((8.9 − x)² − 64) = (71 × 8.9 − 79x)²。

Step-by-step solution

1. 1

   先把常數算掉，兩邊都展開。 首先 $71\cdot 8.9=631.9$。左邊，

   $(8.9-x)^2-64=x^2-17.8x+79.21-64=x^2-17.8x+15.21$

   $\text{左邊}=x^2(x^2-17.8x+15.21)=x^4-17.8x^3+15.21x^2$

   右邊，其中 $79^2=6241$、$2(631.9)(79)=99840.2$、$631.9^2=399297.61$：

   $\text{右邊}=6241x^2-99840.2x+399297.61$

2. 2

   把所有項移到同一邊。 左邊減去右邊：

   $x^4-17.8x^3+(15.21-6241)x^2+99840.2x-399297.61=0$

   $x^4-17.8x^3-6225.79x^2+99840.2x-399297.61=0$

   把它稱為 $f(x)$。注意平方在題目裡已經替我們做掉了——題目本身就是平方後的形式——所以這個四次式的每個實根都是真正的解，沒有增根需要捨去。

3. 3

   找出變號的位置，把實根夾住。 在幾個點上計算 $f$：

   $f(-90)\approx 1.877\times 10^{7},\quad f(-80)\approx 1.842\times 10^{6},\quad f(-70)\approx -7.779\times 10^{6}$

   $f(0)=-399297.61,\quad f(80)\approx -410738,\quad f(81)\approx 427422$

   在 $-80$ 與 $-70$ 之間有一次變號，在 $80$ 與 $81$ 之間也有一次。由於四次式最多有四個實根、而首項係數為正，這兩個區間各夾住一個根。

4. 4

   把兩個根精確化。 在各自的區間內施行牛頓法，收斂到

   $x_1\approx -78.5149849012,\qquad x_2\approx 80.4985052279$

   代回 $x^2((8.9-x)^2-64)-(631.9-79x)^2$，殘差的絕對值都小於 $10^{-7}$，所以兩個都是真的根。

5. 5

   證明沒有其他實根——這才是關鍵的一步。 在整個區間 $[0,80]$ 上，這個四次式從未變成正的：它在那裡的最大值大約是 $-3992$，出現在 $x\approx 7.909$ 附近。因為 $f<0$ 貫穿整段，根不可能藏在裡面。當 $x<-78.51$ 與 $x>80.50$ 時四次式的絕對值遞增且保持為正，而在 $(-78.51,0)$ 上則保持為負。所以恰好存在兩個實根；剩下兩個是共軛複數對 $7.90824\pm 0.79772i$。

6. 6

   小心那個看起來很像樣的「四個實根」答案。 網路上流傳的一種解答列出 $x\approx-86.19,\ 6.9982,\ 8.9387,\ 88.055$。直接檢驗中間那兩個：$f(6.9982)\approx -9205$、$f(8.9387)\approx -10628$——都離零很遠，正如 $[0,80]$ 上的界所預測。任何時候看到有人說一個四次式有四個實根，至少代一個回去驗算；用 $f$ 在整段區間上的正負號來反駁，是成本最低的做法。