求 f(x) = 6/(x − 15) + 6/(x + 12) 的定義域，用區間表示答案。

Step-by-step solution

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   先想清楚哪裡會出問題。 這個式子是兩個分式相加，既沒有根號也沒有對數，唯一的限制就是分母不能為零。兩個分母要分開檢查 —— 只要其中一個變成零，整個函數就沒有定義。

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   分別令每個分母等於零。

   $x - 15 = 0 \ \Longrightarrow\ x = 15, \qquad x + 12 = 0 \ \Longrightarrow\ x = -12$

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   別急著先通分。 通分後得到 $\dfrac{6(x+12) + 6(x-15)}{(x-15)(x+12)} = \dfrac{12x - 18}{(x-15)(x+12)}$。合併後的分母零點還是這兩個，所以這裡沒有差別 —— 但萬一分子裡有因式把其中一個零點約掉了，原來的函數在那一點照樣沒有定義。限制永遠要從原式上讀。

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   把這兩個點從數線上去掉。 從 $\mathbb{R}$ 中挖掉 $-12$ 與 $15$，剩下三個開區間，由左而右依序是：

   $(-\infty,\, -12) \cup (-12,\, 15) \cup (15,\, \infty)$

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   在每個區間裡各取一個值驗算。 當 $x = -20$：$\tfrac{6}{-35} + \tfrac{6}{-8} = -0.9214$，有定義。當 $x = 0$：$\tfrac{6}{-15} + \tfrac{6}{12} = 0.1$，有定義。當 $x = 20$：$\tfrac{6}{5} + \tfrac{6}{32} = 1.3875$，有定義。而在 $x = 15$ 與 $x = -12$，函數有鉛直漸近線。