多項式 f(x) 除以 2x² − 3x + 4 的餘式是 2x + 1。那麼 f(x)³ 除以 2x² − 3x + 4 的餘式是多少？選項：26x − 47、27x − 48、28x − 49、29x − 50、30x − 51。

Step-by-step solution

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   先把「餘式是 2x + 1」這句話寫成式子。 存在商式 $q(x)$，使得

   $f(x)=q(x)\left(2x^{2}-3x+4\right)+(2x+1).$

   為了書寫方便，記 $D(x)=2x^{2}-3x+4$。

2. 2

   取三次方，把所有能被 D 整除的項統統丟掉。 展開 $\left[q D+(2x+1)\right]^{3}$，除了最後一項之外，每一項都至少含一個因式 $D$，做除法時都會消失：

   $\{f(x)\}^{3}\equiv (2x+1)^{3}\pmod{D(x)}.$

   這一步是全題的關鍵——我們自始至終不需要知道 $q(x)$，甚至不需要知道 $f$ 的次數。

3. 3

   把三次方展開。

   $(2x+1)^{3}=8x^{3}+12x^{2}+6x+1.$

4. 4

   除以 D(x)——第一步。 最高次項相除得 $\dfrac{8x^{3}}{2x^{2}}=4x$：

   $8x^{3}+12x^{2}+6x+1-4x\left(2x^{2}-3x+4\right)=24x^{2}-10x+1.$

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   除以 D(x)——第二步。 現在 $\dfrac{24x^{2}}{2x^{2}}=12$：

   $24x^{2}-10x+1-12\left(2x^{2}-3x+4\right)=26x-47.$

   次數已經降到 $2$ 以下，除法到此為止。

6. 6

   寫出答案並驗算。 餘式是 $26x-47$，也就是選項 ①。驗算：$(4x+12)\left(2x^{2}-3x+4\right)+26x-47=8x^{3}+12x^{2}+6x+1=(2x+1)^{3}$ ✓。