把 (2√2 − √3)/(√3 + √2) 的分母有理化。

Step-by-step solution

1. 1

   先認出分母的共軛根式。 對分母 $\sqrt a+\sqrt b$，它的共軛根式是 $\sqrt a-\sqrt b$，因為兩者的乘積是有理數 $a-b$。這裡 $\sqrt3+\sqrt2$ 的共軛根式就是 $\sqrt3-\sqrt2$。

2. 2

   分子分母同乘這個共軛根式。

   $\frac{2\sqrt2-\sqrt3}{\sqrt3+\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2}$

3. 3

   先化簡分母——這是容易的那一半。

   $\left(\sqrt3+\sqrt2\right)\left(\sqrt3-\sqrt2\right)=3-2=1$

   分母是 $1$，表示整個答案就等於展開後的分子。

4. 4

   展開分子。

   $\left(2\sqrt2-\sqrt3\right)\left(\sqrt3-\sqrt2\right)=2\sqrt6-2\cdot 2-3+\sqrt6=2\sqrt6-4-3+\sqrt6$

   這裡用到 $\sqrt2\cdot\sqrt3=\sqrt6$、$\sqrt2\cdot\sqrt2=2$ 與 $\sqrt3\cdot\sqrt3=3$。

5. 5

   合併同類項。

   $3\sqrt6-7$

   $\boxed{3\sqrt6-7}$

6. 6

   做數值檢驗。 $\sqrt2=1.41421$、$\sqrt3=1.73205$，所以原式是 $\dfrac{2.82843-1.73205}{1.73205+1.41421}=\dfrac{1.09637}{3.14626}=0.34847$，而 $3\sqrt6-7=3(2.44949)-7=7.34847-7=0.34847$ ✓。