把 17 除以 (2 加 11 的平方根) 的分母有理化。

Step-by-step solution

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   要選共軛根式，不是隨便挑個乘數。 分母 $2+\sqrt{11}$ 是一個只含單一無理項的二項式。乘上它的共軛根式 $2-\sqrt{11}$ 是唯一能一步消掉根號的選擇，因為 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 會把 $\sqrt{11}$ 平方掉。分子分母同乘同一個量，分式的值不變：

   $\frac{17}{2+\sqrt{11}}\cdot\frac{2-\sqrt{11}}{2-\sqrt{11}}$

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   用平方差把分母算出來。

   $(2+\sqrt{11})(2-\sqrt{11})=2^2-(\sqrt{11})^2=4-11=-7$

   注意正負號：因為 $11>4$，結果是負數。這個負分母正是最容易被處理錯的一步。

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   展開分子。 把 $17$ 乘進去：

   $17(2-\sqrt{11})=34-17\sqrt{11}$

   於是分式現在是

   $\frac{34-17\sqrt{11}}{-7}$

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   把負號搬到分子上。 分母帶著負號不算最簡形式。分子分母同乘 $-1$：

   $\frac{34-17\sqrt{11}}{-7}=\frac{17\sqrt{11}-34}{7}$

   再沒有可約的了：$17$ 與 $7$ 互質，所以這個分數已經是最簡。

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   做一次數值核對。 取 $\sqrt{11}=3.3166247903554$，原式是 $17/5.3166247903554=3.1975173480059\,7$，化簡後的形式是 $(17\cdot 3.3166247903554-34)/7=22.3826214/7=3.1975173480059\,7$。兩者在小數點後 13 位上一致，說明有理化沒有出錯。