將 x² + 2x − 8y − 3xy − 4y² 完全因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   按總次數把各項分類。 有三項對 $x$ 與 $y$ 合起來是二次的，另外兩項是一次的：

   $\underbrace{x^2-3xy-4y^2}_{\text{次數 }2}+\underbrace{2x-8y}_{\text{次數 }1}$

   這個分組是關鍵一步：如果整個式子能拆成兩個括號相乘，那二次的部分一定就是這兩個括號最高次部分的乘積。

2. 2

   分解齊次的二次部分。 把它看成 $x$ 的二次式、$y$ 當常數：要找兩項，乘積是 $-4y^2$、和是 $-3y$，也就是 $-4y$ 與 $+y$：

   $x^2-3xy-4y^2=(x-4y)(x+y)$

3. 3

   分解一次部分，找出共同的括號。

   $2x-8y=2(x-4y)$

   $(x-4y)$ 在兩邊都出現了——這就是「整個式子可以分解」的訊號，也告訴我們第 2 步得到的兩個括號中，哪一個才是共同的那個。

4. 4

   提出 $(x-4y)$。

   $(x-4y)(x+y)+2(x-4y)=(x-4y)\bigl[(x+y)+2\bigr]=(x-4y)(x+y+2)$

5. 5

   乘回去並做數值測試。 展開：$(x-4y)(x+y+2)=x^2+xy+2x-4xy-4y^2-8y=x^2-3xy+2x-4y^2-8y$，重新排序後就是原式 ✓。取 $x=3$、$y=1$：原式是 $9+6-8-9-4=-6$，而 $(3-4)(3+1+2)=(-1)(6)=-6$ ✓。