將 2 除以 (根號 7 加根號 2) 的分母有理化並化簡。

Step-by-step solution

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   先看清為什麼只乘一個根號沒有用。 分子分母只乘 $\sqrt{7}$，分母會留下 $\sqrt{14}$。兩個不同根號的和必須用共軛根式，因為只有平方差的形式才能一次消掉兩個根號。

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   乘上「共軛根式除以自己」。 $\sqrt{7}+\sqrt{2}$ 的共軛根式是 $\sqrt{7}-\sqrt{2}$。乘上 $\dfrac{\sqrt7-\sqrt2}{\sqrt7-\sqrt2}$ 就是乘 $1$，所以式子的值不變：

   $\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$

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   用 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 展開分母。 交叉項互相消掉，這正是整個做法的重點：

   $(\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2}) = (\sqrt7)^2-(\sqrt2)^2 = 7-2 = 5$

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   把分子乘開。

   $2(\sqrt{7}-\sqrt{2}) = 2\sqrt{7}-2\sqrt{2}$

   結果是 $\dfrac{2\sqrt7-2\sqrt2}{5}$。

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   檢查還能不能再約分。 $2$、$2$、$5$ 的最大公因數是 $1$，所以約不掉；你也可以寫成 $\dfrac{2(\sqrt7-\sqrt2)}{5}$。

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   用數值驗算。 $\sqrt7\approx2.6458$、$\sqrt2\approx1.4142$，原式為 $\tfrac{2}{4.0600}\approx0.4926$，而答案為 $\tfrac{2(1.2316)}{5}\approx0.4926$，兩者相符。