把 12x² − 176x + 480 盡量分解，並求出它的根。

Step-by-step solution

1. 1

   先提出最大公因數。 係數 $12$、$176$、$480$ 都能被 $4$ 整除（而且沒有更大的公因數，因為 $12=4\cdot3$ 而 $3\nmid176$）：

   $12x^2-176x+480=4\left(3x^2-44x+120\right)$

   逐項驗證：$4\cdot3=12$ ✓、$4\cdot44=176$ ✓、$4\cdot120=480$ ✓。

2. 2

   對括號內的三項式試用 AC 法。 要在整數範圍分解 $3x^2-44x+120$，需要兩個數乘積為 $3\times120=360$、和為 $-44$。$360$ 的因數對有 $(1,360),(2,180),(3,120),(4,90),(5,72),(6,60),(8,45),(9,40),(10,36),(12,30),(15,24),(18,20)$，對應的和是 $361,182,123,94,77,66,53,49,46,42,39,38$——把一對數同時變號只會讓和變號。沒有一個等於 $44$，所以整數分解不存在。

3. 3

   用判別式再確認一次。 對 $3x^2-44x+120$：

   $\Delta=(-44)^2-4(3)(120)=1936-1440=496$

   而 $496=16\times31$ 不是完全平方數（$22^2=484$、$23^2=529$）。判別式不是完全平方，正是「在有理數上分解不了」的判準。

4. 4

   駁回一個常被流傳的錯誤答案。 有人給出 $4(x-6)(3x-20)$，但把它展開會得到

   $4(x-6)(3x-20)=4\left(3x^2-38x+120\right)=12x^2-152x+480$

   一次項係數是 $-152$，不是 $-176$。代入 $x=1$ 更是一翻兩瞪眼：原式得 $12-176+480=316$，而 $4(1-6)(3-20)=4(-5)(-17)=340$——並不相等。

5. 5

   用公式解求出精確的根。 解 $3x^2-44x+120=0$：

   $x=\frac{44\pm\sqrt{496}}{6}=\frac{44\pm4\sqrt{31}}{6}=\frac{22\pm2\sqrt{31}}{3}$

   其中 $\sqrt{496}=\sqrt{16\cdot31}=4\sqrt{31}$。取近似值 $\sqrt{31}=5.567764$：

   $x_1=\frac{22+11.13553}{3}=11.04518,\qquad x_2=\frac{22-11.13553}{3}=3.62149$

6. 6

   寫出完整的分解式並驗證。 在實數範圍：

   $12x^2-176x+480=12\left(x-\frac{22+2\sqrt{31}}{3}\right)\left(x-\frac{22-2\sqrt{31}}{3}\right)$

   而在整數範圍最多只能做到 $4\left(3x^2-44x+120\right)$。兩個根代回原式的值與零的差距都在 $10^{-9}$ 以內 ✓，提公因數那一步也在 $40$ 個整數點上驗過 ✓。