已知 f(x) = 5x + 2 與 g(x) = x − 6，求 (f + g)(x) 並寫出它的定義域。

Step-by-step solution

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   先寫下兩個函數之間那個加號的意思。 函數相加是逐點定義的：對每個輸入 $x$，你把兩條規則各算一次，再把輸出相加。寫成符號就是

   $(f+g)(x)=f(x)+g(x).$

   這裡沒有什麼新運算要學 —— 全部的工作就是把兩個式子代進去。

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   代入兩條規則，並各自保留括號。 一旦後面出現減法，括號就很要緊，所以現在就先養成習慣：

   $(f+g)(x)=(5x+2)+(x-6).$

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   拿掉括號並把同類項分組。 因為每個括號前面都是加號，沒有任何項會變號：

   $(5x+2)+(x-6)=\underbrace{5x+x}_{\text{x 項}}+\underbrace{2-6}_{\text{常數項}}.$

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   逐組合併。 $x$ 的係數是 $5+1=6$，常數則給出 $2-6=-4$：

   $(f+g)(x)=6x-4.$

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   定義域要從各部分的定義域讀出，而不是從答案讀出。 和函數恰好在兩個原函數都有定義的地方才有定義。$f$ 與 $g$ 都是多項式，對每個實數都有定義，所以

   $\text{定義域}(f+g)=(-\infty,\infty).$

   這個順序很重要：像 $f/g$ 這種商，化簡後的式子可能藏住某個仍然必須排除的值，所以定義域一律從原本的各部分讀出來。