解不等式 9x² + 48x − 576 ≥ 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先提出公因數。 三個係數都能被 $3$ 整除：

   $9x^2+48x-576=3\left(3x^2+16x-192\right)$

   因為 $3>0$，不等式兩邊同除以它不會改變方向：

   $3x^2+16x-192\ge0$

2. 2

   試著因式分解，會發現分解不了。 要分解就得找兩個整數，乘積是 $3\times(-192)=-576$、和是 $16$。把 $576$ 的因數對逐一列出——$(1,576),(2,288),(3,192),(4,144),(6,96),(8,72),(9,64),(12,48),(16,36),(18,32),(24,24)$——可能得到的帶號和是 $\pm575,\pm286,\pm189,\pm140,\pm90,\pm64,\pm55,\pm36,\pm20,\pm14,0$。沒有一個是 $16$，所以這個三項式在整數範圍內不可分解。常被引用的分解 $(x-6)(3x+32)$ 展開後是 $3x^2+14x-192$，不是 $3x^2+16x-192$ — 中間項就錯了，而且 $9(6)^2+48(6)-576=36\neq0$，可見 $x=6$ 根本不是根。

3. 3

   改用公式解。 對 $3x^2+16x-192=0$：

   $\Delta=16^2-4(3)(-192)=256+2304=2560$

   $x=\frac{-16\pm\sqrt{2560}}{6}$

4. 4

   化簡根式。 $2560=256\times10$，而 $\sqrt{256}=16$，所以 $\sqrt{2560}=16\sqrt{10}$：

   $x=\frac{-16\pm16\sqrt{10}}{6}=\frac{-8\pm8\sqrt{10}}{3}$

   取 $\sqrt{10}=3.16228$ 換算成數值：

   $x_1=\frac{-8+25.2982}{3}=5.76607,\qquad x_2=\frac{-8-25.2982}{3}=-11.09941$

5. 5

   由拋物線的開口方向決定要取哪些區間。 首項係數 $9$（約分後是 $3$）是正的，所以拋物線開口向上，在兩根之外 $\ge0$：

   $x\le\frac{-8-8\sqrt{10}}{3}\qquad\text{或}\qquad x\ge\frac{-8+8\sqrt{10}}{3}$

6. 6

   包含端點並驗證。 不等式帶等號，所以式子恰為 $0$ 的兩根屬於解集合。檢查：兩個根代進去，$9x^2+48x-576=0$ 的誤差都在 $10^{-9}$ 以內 ✓；在 $-30$ 到 $30$ 之間掃描 $6001$ 個點，也與這個解集合處處相符 ✓。用區間表示：$\left(-\infty,\tfrac{-8-8\sqrt{10}}{3}\right]\cup\left[\tfrac{-8+8\sqrt{10}}{3},\infty\right)$。