解 9 的 x 次方除以 12 等於 21。

Step-by-step solution

1. 1

   先把指數項孤立出來，再談對數。 兩邊同乘 $12$：

   $9^x=21\cdot 12=252$

   若在 $12$ 還掛著的時候就先取對數，每一行都得多拖一個 $\log 12$，沒有任何好處。

2. 2

   先確認 252 是不是 9 的次方。 $9^2=81$、$9^3=729$，而 $252$ 嚴格落在兩者之間。所以答案介於 $2$ 與 $3$ 之間，也不會是好看的分數——這裡是真的非用對數不可。

3. 3

   兩邊取對數。 可以直接用 $\log_9$，也可以用任意底再搭配換底公式：

   $x=\log_9 252=\frac{\ln 252}{\ln 9}$

   兩個對數必須是同一個底；自然對數是最常見的選擇。

4. 4

   算出數值。 $\ln 252=5.529429$、$\ln 9=2.197225$，所以

   $x=\frac{5.529429}{2.197225}=2.5165516$

   這個值落在 $2$ 與 $3$ 之間，與步驟 2 的預測相符。

5. 5

   代入驗算。 $9^{2.5165516}=252.00$，再除以 $12$ 就回到 $21.00$。所以 $x=\log_9 252\approx 2.5166$。（等價的精確寫法是 $x=\frac{\ln 252}{2\ln 3}$，因為 $\ln 9=2\ln 3$。）