解不等式 (3×10⁹)/4ˣ < 1，並給出滿足它的最小整數 x。

Step-by-step solution

1. 1

   安全地把分母去掉。 指數式 $4^x$ 對每一個實數 $x$ 都嚴格為正，所以兩邊同乘它不可能翻轉不等號：

   $3\times10^9<4^x,\qquad\text{即}\qquad 4^x>3\times10^9$

   這就是這裡完全不必分情況討論的原因，跟分母是多項式的不等式很不一樣。

2. 2

   兩邊取以 4 為底的對數。 因為 $4>1$，函數 $\log_4$ 是遞增的，所以會保持方向：

   $x>\log_4\!\left(3\times10^9\right)$

3. 3

   用換底公式轉換。 計算機上沒有 $\log_4$，所以要用

   $\log_4 N=\frac{\log_{10}N}{\log_{10}4}$

   分子的部分，用對數律把乘積拆開：

   $\log_{10}\!\left(3\times10^9\right)=\log_{10}3+\log_{10}10^9=0.4771+9=9.4771$

4. 4

   除以 log 4。 取 $\log_{10}4=0.6020600$：

   $x>\frac{9.4771213}{0.6020600}=15.7411575\ldots$

   所以實數解集合是 $x>15.7412$，精確地說就是 $x>\log_4\!\left(3\times10^9\right)$。

5. 5

   讀出最小的整數。 嚴格大於 $15.7412$ 的最小整數是

   $x=16$

   快速估算也印證了這個量級：$4^{15}=2^{30}\approx1.07\times10^9$，比 $3\times10^9$ 小；而 $4^{16}=2^{32}\approx4.29\times10^9$，則比它大。

6. 6

   在邊界兩側各驗證一次。 在 $x=16$：$\dfrac{3\times10^9}{4^{16}}=\dfrac{3\times10^9}{4.295\times10^9}=0.6985<1$ ✓。在 $x=15$：$\dfrac{3\times10^9}{1.074\times10^9}=2.7933>1$ ✗。而在精確的邊界 $x=15.7412$ 處，這個商恰好是 $0.999941$ ✓。