解複合不等式 7 < 60(1 + x)/7 < 8。

Step-by-step solution

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   先預測答案的正負。 當 $x=0$ 時中間那個式子是 $\tfrac{60}{7}\approx8.57$，高於目標範圍 $(7,8)$。所以 $1+x$ 必須被壓到 $1$ 以下，也就是說 $x$ 會是負數——這是檢查最終答案很好用的一把尺。

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   三個部分同乘 7。 因為 $7>0$，兩個不等號的方向都保持不變：

   $49<60(1+x)<56$

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   三個部分同除以 60。 除數一樣是正的：

   $\frac{49}{60}<1+x<\frac{56}{60}=\frac{14}{15}$

   此刻先把 $\tfrac{56}{60}$ 約成 $\tfrac{14}{15}$，下一步會清爽很多。

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   三個部分同減 1。

   $\frac{49}{60}-\frac{60}{60}<x<\frac{14}{15}-\frac{15}{15}$

   $-\frac{11}{60}<x<-\frac{1}{15}$

   兩個界限都是負的，與步驟 1 的預測完全一致。

5. 5

   確認上下界的大小順序。 通分到分母 $60$：$-\tfrac{11}{60}<-\tfrac{4}{60}$ ✓，所以這個區間是真實存在而且非空的，不像把界限 $8$ 與 $7$ 對調後那種自相矛盾的版本。

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   把兩個端點精確驗算一次。 取 $x=-\tfrac{11}{60}$：$1+x=\tfrac{49}{60}$，而 $\tfrac{60}{7}\cdot\tfrac{49}{60}=\tfrac{49}{7}=7$——恰好是下界 ✓。取 $x=-\tfrac{1}{15}$：$1+x=\tfrac{14}{15}$，而 $\tfrac{60}{7}\cdot\tfrac{14}{15}=\tfrac{56}{7}=8$ ✓。兩個不等號都是嚴格的，所以端點本身不含在解內。