已知 x/y = 2/3，求 (3x² − 2xy + 5y²)/(5x² − 3xy + 3y²) 的值。

Step-by-step solution

1. 1

   注意這個式子是二次齊次式。分子與分母的每一項在 $x$ 與 $y$ 上的總次數都是 $2$。這代表它的值只取決於比值 $x:y$，而與它們各自的大小無關 —— 這正是為什麼只給一個比值就足夠。

2. 2

   **把比值參數化。**由 $\dfrac xy=\dfrac23$，寫成

   $x=2k,\qquad y=3k\qquad(k\neq 0)$

   直接取 $x=2$、$y=3$ 也可以；引進參數 $k$ 只是為了讓約分看得更清楚。

3. 3

   計算分子。

   $3(2k)^{2}-2(2k)(3k)+5(3k)^{2}=12k^{2}-12k^{2}+45k^{2}=45k^{2}$

4. 4

   計算分母。

   $5(2k)^{2}-3(2k)(3k)+3(3k)^{2}=20k^{2}-18k^{2}+27k^{2}=29k^{2}$

5. 5

   相除並約分。

   $\frac{45k^{2}}{29k^{2}}=\frac{45}{29}$

   $\boxed{\dfrac{45}{29}}$

6. 6

   **換一組同比值的數再驗一次。**取 $x=4$、$y=6$（仍然是 $2:3$）：分子 $=48-48+180=180$，分母 $=80-72+108=116$，而 $\tfrac{180}{116}=\tfrac{45}{29}$ ✓ —— 確認答案真的只取決於比值。

7. 7

   **另一條路：整式同除以 y²。**令 $r=\tfrac xy=\tfrac23$，式子等於 $\dfrac{3r^{2}-2r+5}{5r^{2}-3r+3}=\dfrac{\tfrac{12}{9}-\tfrac43+5}{\tfrac{20}{9}-2+3}=\dfrac{5}{\tfrac{29}{9}}=\dfrac{45}{29}$ —— 用更短的路徑得到同樣的值。