解複合不等式 3818 ≤ 499x − 20y < 4018 − 2734 ≤ 33x − 78y < −2534。

Step-by-step solution

1. 1

   先把埋在鏈條中間的常數算出來。 $4018-2734$ 根本不是含變數的式子，所以最先把它算掉：

   $4018-2734=1284$

   鏈條現在讀作

   $3818 \le 499x-20y < 1284 \le 33x-78y < -2534$

2. 2

   記清楚一條不等式鏈到底在主張什麼。 寫成一條鏈的 $p \le q < r \le s < t$，是「每一組相鄰比較都同時成立」的簡寫。所以這一條同時主張四個獨立條件：

   $3818 \le 499x-20y,\qquad 499x-20y < 1284,$
   $1284 \le 33x-78y,\qquad 33x-78y < -2534$

   這正是為什麼必須把常數彼此對照，而不是只把每一段各自解出 $x$ 與 $y$。

3. 3

   把前兩段互相檢驗。 它們限制的是同一個量 $499x-20y$：

   $3818 \le 499x-20y < 1284$

   這要求同一個數既至少是 $3818$，又嚴格小於 $1284$。既然 $3818 > 1284$，$499x-20y$ 取任何實數值都辦不到。區間 $[3818,\,1284)$ 是空的。

4. 4

   用同樣方式檢驗後兩段。 它們限制的是 $33x-78y$：

   $1284 \le 33x-78y < -2534$

   下界又一次超過上界，因為 $1284 > -2534$。區間 $[1284,\,-2534)$ 同樣是空的。

5. 5

   以空集合作結。 鏈條中有兩個彼此獨立的部分自相矛盾，所以不管怎麼取 $x$ 與 $y$ 都無法滿足整個敘述。已經沒有東西需要解了：

   $\{(x,y)\}=\varnothing$

   這裡值得養成的習慣是：只要複合不等式被寫成一長串鏈條，就先把常數界限讀出來。若有任何下界大於它右邊的上界，答案當場就出來了——完全不必對 $x$ 與 $y$ 做任何代數運算。