已知聯立方程式 2x + 3y = 14 與 3x + 2y = 15，在不解出 x 與 y 的情況下求 x + y。

Step-by-step solution

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   先看係數的對稱性。 兩組係數是 $(2,3)$ 與 $(3,2)$ —— 同樣兩個數字互換角色。只要聯立式有這種對稱性，把兩式相加就會讓 $x$ 與 $y$ 的係數相等，而那正好就是題目要的組合 $x+y$。

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   把兩式相加。

   $(2x+3y)+(3x+2y)=14+15$

   $5x+5y=29$

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   提出公因數 5。

   $5(x+y)=29\quad\Longrightarrow\quad x+y=\frac{29}{5}$

   $\boxed{x+y=\dfrac{29}{5}=5.8}$

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   順便記下配套的捷徑。 改成兩式相減會得到 $x-y=1$，於是兩個對稱組合都白拿到手。兩者合起來甚至可以直接解出聯立：$x=\tfrac12\left(\tfrac{29}{5}+1\right)=\tfrac{17}{5}$、$y=\tfrac{12}{5}$。

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   檢驗。 取 $x=\tfrac{17}{5}$、$y=\tfrac{12}{5}$：$2\left(\tfrac{17}{5}\right)+3\left(\tfrac{12}{5}\right)=\tfrac{34+36}{5}=\tfrac{70}{5}=14$ ✓，$3\left(\tfrac{17}{5}\right)+2\left(\tfrac{12}{5}\right)=\tfrac{51+24}{5}=\tfrac{75}{5}=15$ ✓，而且確實 $x+y=\tfrac{29}{5}$。