求 (2x + 3)² − (2x − 1)² − 6x 在 x = 1 時的值。

Step-by-step solution

1. 1

   **第一輪先直接代入。**取 $x=1$，

   $(2+3)^{2}-(2-1)^{2}-6=5^{2}-1^{2}-6=25-1-6=18.$

   這樣確實答完了題目，但它把結構藏了起來 —— 而結構才是防止算術失誤的關鍵。

2. 2

   **改用平方差再算一次。**前兩項是 $A^{2}-B^{2}=(A+B)(A-B)$ 的形式，其中 $A=2x+3$、$B=2x-1$：

   $A+B=4x+2,\qquad A-B=(2x+3)-(2x-1)=4.$

   $A-B$ 裡的 $x$ 項互相抵消，這正是這個因式分解在此特別有效的原因。

3. 3

   化簡整個式子。

   $(4x+2)(4)-6x=16x+8-6x=10x+8.$

   原本看起來像二次式的算式其實是一次式 —— $4x^{2}$ 項已經抵消掉了。

4. 4

   代入化簡後的式子求值。

   $10(1)+8=18,$

   與直接代入的結果一致。

5. 5

   **再驗第二個點以確認化簡無誤。**在 $x=3$ 時，原式得 $(9)^{2}-(5)^{2}-18=81-25-18=38$，化簡後的式子得 $10(3)+8=38$ ✓。因為 $10x+8$ 在兩個點都吻合，而兩邊在抵消之後都是次數至多為一的多項式，所以它們是同一個函數。