關係式 y(b − x) = ax 不是直線型。把它化成 Y = mX + c 的形式，並寫出 Y、X、m 與 c。

Step-by-step solution

1. 1

   先診斷是哪一種非線性。 這裡沒有任何指數——麻煩在於 $y(b-x)=by-xy$ 裡藏著的乘積 $xy$。取對數只會讓情況更糟。當兩個變數彼此相乘時，解法通常是取倒數。

2. 2

   兩邊同除以乘積 $xy$。 從 $y(b-x)=ax$ 出發，兩邊同除以 $xy$（在 $x\neq 0$、$y\neq 0$ 時合法）：

   $\frac{b-x}{x}=\frac{a}{y}$

3. 3

   把左邊的分式拆開。

   $\frac{b}{x}-1=\frac{a}{y}$

   兩個變數現在都只以 $1/x$ 和 $1/y$ 的形式出現——這就是變換奏效的訊號。

4. 4

   解出 $1/y$。 兩邊同除以 $a$：

   $\frac{1}{y}=\frac{b}{a}\cdot\frac{1}{x}-\frac{1}{a}$

5. 5

   對照 $Y=mX+c$。

   $\underbrace{\frac{1}{y}}_{Y}=\underbrace{\frac{b}{a}}_{m}\underbrace{\frac{1}{x}}_{X}+\underbrace{\left(-\frac{1}{a}\right)}_{c}$

   所以要把 $1/y$ 對 $1/x$ 作圖。由截距得 $a=-1/c$，再由斜率得 $b=ma$。

6. 6

   用數字檢驗。 取 $a=2,b=5,x=1$：原式給出 $y(5-1)=2$，所以 $y=0.5$、$1/y=2$。直線型算出 $\tfrac{5}{2}(1)-\tfrac12=2$ ✓。注意截距是負的，這正好告訴你 $a>0$。