解一元二次方程式 40x² + 98x − 33 = 0。

Step-by-step solution

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   動手之前先算判別式。 取 $a=40$、$b=98$、$c=-33$：

   $\Delta=b^2-4ac=98^2-4(40)(-33)=9604+5280=14884$

   首項係數是 $40$，用試誤法找因式會很痛苦，所以值得先花一行算 $\Delta$，看看漂亮的因式到底存不存在。

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   看出 14884 是完全平方數。 先把明顯的因數 $4$ 拆出來：

   $14884=4\cdot 3721,\qquad \sqrt{14884}=2\sqrt{3721}=2\cdot 61=122$

   因為 $61^2=3721$。判別式是完全平方就保證有兩個有理根，而這又保證在整數範圍內一定分解得漂亮。

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   代入公式解。

   $x=\frac{-98\pm 122}{2\cdot 40}=\frac{-98\pm 122}{80}$

   兩支現在都會化成簡單的分數，而不是小數。

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   把兩個根各自約分。

   $x=\frac{-98+122}{80}=\frac{24}{80}=\frac{3}{10},\qquad x=\frac{-98-122}{80}=\frac{-220}{80}=-\frac{11}{4}$

   一定要記得約分：$24/80$ 與 $-220/80$ 都藏著公因數。

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   把因式分解讀出來並驗證。 根 $3/10$ 與 $-11/4$ 對應到因式 $(10x-3)$ 與 $(4x+11)$，而它們的首項係數相乘是 $10\cdot 4=40$：

   $(10x-3)(4x+11)=40x^2+110x-12x-33=40x^2+98x-33$

   中間項重新組合回 $98x$，所以兩個根和分解式都得到確認。