解三次方程式 2s³ + 33s² + 180s + 300 = 0。

Step-by-step solution

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   先排除有理根。 候選值是 $\pm\tfrac{d}{e}$，其中 $d \mid 300$ 且 $e \mid 2$。把看起來可能的負數試過一輪：$f(-3) = 3$、$f(-4) = -20$、$f(-5) = -25$、$f(-6) = -24$、$f(-10) = -200$、$f(-15) = -1725$。全都不為零，所以因式分解與綜合除法都走不通——不過 $-3$ 與 $-4$ 之間的變號的確告訴我們，有一個實根落在那個縫隙裡。

2. 2

   把三次式化成首一並消去二次項。 除以 $2$ 得 $s^3 + \tfrac{33}{2}s^2 + 90s + 150 = 0$。代換 $s = y - \tfrac{a}{3}$，其中 $a = \tfrac{33}{2}$，也就是 $s = y - \tfrac{11}{2}$，可以消掉平方項。用 $p = b - \tfrac{a^2}{3}$ 與 $q = \tfrac{2a^3}{27} - \tfrac{ab}{3} + c$：

   $p = 90 - \frac{1089}{12} = -\frac{3}{4}, \qquad q = \frac{1331}{4} - 345 = -\frac{49}{4}$

   所以化簡後的三次式是 $y^3 - \tfrac{3}{4}y - \tfrac{49}{4} = 0$。

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   算判別式，看看有幾個實根。

   $\Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 = \frac{2401}{64} - \frac{1}{64} = \frac{2400}{64} = \frac{75}{2} = 37.5$

   因為 $\Delta > 0$，恰有一個實根與一對共軛複根。這正是卡丹的根式公式能用實數立方根直接算出來的情形——不必繞到三角函數那條路。

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   套用卡丹公式。 以 $-\tfrac{q}{2} = \tfrac{49}{8} = 6.125$ 與 $\sqrt{\Delta} = \sqrt{37.5} = 6.123724$：

   $y = \sqrt[3]{6.125 + 6.123724} + \sqrt[3]{6.125 - 6.123724} = \sqrt[3]{12.248724} + \sqrt[3]{0.001276}$

   兩個被開方數的大小相差懸殊——第二個之所以只比零大一點點，是因為 $\Delta$ 差一點就達到 $\left(\tfrac{q}{2}\right)^2$——於是

   $y = 2.305138 + 0.108453 = 2.413591$

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   換回 s，再求那對共軛複根。 由 $s = y - \tfrac{11}{2}$ 得實根

   $s_1 = 2.413591 - 5.5 = -3.086409$

   把 $2s^3 + 33s^2 + 180s + 300$ 除以 $(s - s_1)$，餘下 $2s^2 + 26.827182s + 97.200344$，它的根是 $s = -6.706796 \pm 1.902385\,i$。

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   用根與係數關係檢驗。 三根之和必須是 $-\tfrac{33}{2} = -16.5$：$-3.086409 + 2(-6.706796) = -16.500001$。三根之積必須是 $-\tfrac{300}{2} = -150$：$(-3.086409)\left(6.706796^2 + 1.902385^2\right) = (-3.086409)(48.60018) = -150.00$。兩項都吻合。（常見但錯誤的答案把虛部寫成 $\pm 0.484891$；那一組在乘積檢驗上錯得很離譜。）