解聯立方程式 5y + 2 + 2zx = 0、5x + 5 + 2zy = 0、x² + y² = 1。

Step-by-step solution

1. 1

   先認出這是拉格朗日乘數法的結構。 這正是在單位圓上求 $f(x,y)=5xy+2x+5y$ 極值時的駐點條件：$\nabla f+z\nabla g=0$，其中 $g=x^{2}+y^{2}-1$，而 $z$ 就是乘數。看出這一點就能預期有四組解（兩個極大／極小，兩個鞍點型的點），也告訴你每個答案都必須落在圓上。

2. 2

   把限制式參數化。 令 $x=\cos t$、$y=\sin t$ 就自動滿足第三式，前兩式則變成

   $5\sin t+2+2z\cos t=0,\qquad 5\cos t+5+2z\sin t=0$

3. 3

   消去乘數 $z$。 第一式乘以 $\sin t$、第二式乘以 $\cos t$，再相減；$2z\sin t\cos t$ 項互相抵消：

   $5\sin^{2}t+2\sin t-5\cos^{2}t-5\cos t=0$

   這個只含 $t$ 的方程式在 $[0,2\pi)$ 上恰有四個根，四組解的個數就是這樣來的。

4. 4

   先讀出兩組有理數解。 有兩個根對應到一眼認得出的點。在 $(x,y)=\left(\tfrac35,\tfrac45\right)$ 處，第一式給出 $4+2+2z\cdot\tfrac35=0$，故 $z=-5$；第二式給出 $3+5+2(-5)\tfrac45=8-8=0$ ✓。在 $(x,y)=(-1,0)$ 處：第一式給出 $0+2+2z(-1)=0$，故 $z=1$，第二式給出 $-5+5+0=0$ ✓。

5. 5

   求出剩下兩組，它們帶有 $\sqrt{11}$。 另外兩個根滿足 $20x^{2}+12x-7=0$ 與 $20y^{2}+24y+5=0$，於是得到

   $\left(x,y,z\right)=\left(\frac{-3+2\sqrt{11}}{10},\ \frac{-6-\sqrt{11}}{10},\ \frac{4+\sqrt{11}}{2}\right),\quad\left(\frac{-3-2\sqrt{11}}{10},\ \frac{-6+\sqrt{11}}{10},\ \frac{4-\sqrt{11}}{2}\right)$

6. 6

   每一組候選解都要對三個式子驗算 —— 尤其是那個限制式。 對帶 $\sqrt{11}$ 的那一組，$x^{2}+y^{2}=\dfrac{9-12\sqrt{11}+44}{100}+\dfrac{36+12\sqrt{11}+11}{100}=\dfrac{100}{100}=1$ ✓，而把前兩式展開並用 $\left(\sqrt{11}\right)^{2}=11$ 化簡，兩式都恰好得到 $0$。這個檢查是必要的：一組不滿足 $x^{2}+y^{2}=1$ 的解，寫得再漂亮也是錯的。