化簡 (2x − √(2x) − 1)(2x + √(2x) − 1)。

Step-by-step solution

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   **與其乘開九個項，不如先看出共軛的形式。**兩個因式只差在 $\sqrt{2x}$ 前面的符號。這正是 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ 的特徵，只要分組分對就能套用。

2. 2

   **選定分組方式。**把不變號的部分全部放進 $a$，根號放進 $b$：

   $a = 2x - 1, \qquad b = \sqrt{2x}$

   這樣乘積恰好是 $\left(a - b\right)\left(a + b\right)$。

3. 3

   套用公式。

   $\left(a-b\right)\left(a+b\right) = a^2 - b^2 = (2x-1)^2 - \left(\sqrt{2x}\right)^2$

   根號一步就消失了 —— 這就是值得看出這個分組的理由。

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   分別展開兩個平方。

   $(2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1, \qquad \left(\sqrt{2x}\right)^2 = 2x$

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   相減並合併。

   $4x^2 - 4x + 1 - 2x = 4x^2 - 6x + 1$

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   **在 x = 2 做數值驗算。**兩個因式是 $4 - 2 - 1 = 1$ 與 $4 + 2 - 1 = 5$，乘積為 $5$。化簡後的式子給出 $4(4) - 6(2) + 1 = 16 - 12 + 1 = 5$。兩者相符。（注意原式因為有根號需要 $x \ge 0$，而多項式形式對所有 $x$ 都有定義。）