解不等式 (2/5)^x < sqrt((4/25)^((3x + 2)/x))。

Step-by-step solution

1. 1

   先寫出定義域。 指數 $\frac{3x+2}{x}$ 在 $x=0$ 時沒有定義，所以 $x\ne 0$ 是全程都要記住的限制。其餘部分對所有實數 $x$ 都有定義，因為正的底數不論取任何實數次方都是正的。

2. 2

   把兩邊化成同底。 注意 $\frac{4}{25}=\left(\frac{2}{5}\right)^2$，所以根號剛好抵消平方：

   $\sqrt{\left(\frac{4}{25}\right)^{\frac{3x+2}{x}}}=\left[\left(\tfrac{2}{5}\right)^{2\cdot\frac{3x+2}{x}}\right]^{1/2}=\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{3x+2}{x}}$

   不等式就變成同底之下純粹比較指數：

   $\left(\frac{2}{5}\right)^{x}<\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{3x+2}{x}}$

3. 3

   底數小於 1，所以不等號要反轉。 函數 $t\mapsto\left(\frac25\right)^t$ 是遞減的，所以函數值比較小，對應的指數反而比較大：

   $x>\frac{3x+2}{x}$

   忘了反轉不等號，是分數底數指數不等式裡最常見的單一錯誤。

4. 4

   把所有項移到同一邊——千萬不要兩邊乘 $x$。 兩邊乘 $x$ 就得依 $x$ 的正負分情況討論；用相減比較安全：

   $x-\frac{3x+2}{x}>0\;\Longleftrightarrow\;\frac{x^2-3x-2}{x}>0$

5. 5

   找出臨界點並列符號表。 分子為零時 $x^2-3x-2=0$，也就是

   $x=\frac{3\pm\sqrt{9+8}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}\approx-0.5616\ \text{與}\ 3.5616$

   加上分母的零點，臨界點由小到大是 $\frac{3-\sqrt{17}}{2}$、$0$、$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$。在四個區間各取一點測試，得到的正負依序是 $-,\;+,\;-,\;+$。

6. 6

   寫出解集合並抽查驗算。 商在下列範圍為正：

   $x\in\left(\frac{3-\sqrt{17}}{2},\,0\right)\cup\left(\frac{3+\sqrt{17}}{2},\,+\infty\right)$

   驗算 $x=-0.4$：左邊 $0.4^{-0.4}\approx1.44$，右邊 $0.4^{(3(-0.4)+2)/(-0.4)}=0.4^{-2}=6.25$——不等式成立。驗算 $x=1$：$0.4<0.4^{5}=0.01$ 不成立，與符號表的結論一致。