把分數 81/16 寫成次方的形式。底數與指數各取什麼？81/16 是某個整數的次方嗎？

Step-by-step solution

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   把分子與分母都分解成質數的次方。 連續做除法得

   $81=3\cdot 27=3\cdot 3\cdot 9=3^{4},\qquad 16=2\cdot 8=2\cdot 2\cdot 4=2^{4}.$

   先分解的用意，就是看兩個指數是否相同 —— 這恰恰是「整個分數能寫成一個次方」的條件。

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   把同指數商的指數律反過來用。 因為兩個指數都是 $4$，$\dfrac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}$ 這條律可以直接套用：

   $\frac{81}{16}=\frac{3^{4}}{2^{4}}=\left(\frac{3}{2}\right)^{4}.$

   多數同學都是由左往右用這個恆等式；把它由右往左讀，才是把分數變成次方的那一步。

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   檢查指數還能不能降下來。 $\tfrac{81}{16}$ 能不能用更小的指數寫出來，例如寫成一個平方？那需要 $\left(\tfrac{3}{2}\right)^{4}=t^{2}$，其中 $t=\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}=\tfrac94$，於是確實有

   $\frac{81}{16}=\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{4}.$

   兩種寫法都對；$\left(\tfrac32\right)^{4}$ 是底數最小的那一種，而指數 $4$ 已經是最大可能，因為 $3$ 和 $2$ 都是質數。

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   回答「是不是整數的次方」這一半。 化成小數是 $\tfrac{81}{16}=5.0625$，不是整數，所以它不可能等於 $m^{k}$（$m$ 為整數、$k\ge 1$）。底數必然是分數 —— 一個最簡分數要成為整數的次方，只有在分母是 $1$ 的時候。

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   用精確分數驗算，不要用小數。 用分數算 $\left(\tfrac32\right)^{4}$：$\tfrac32\cdot\tfrac32=\tfrac94$，再 $\tfrac94\cdot\tfrac94=\tfrac{81}{16}$ ✓。用精確分數驗算而不是靠 $1.5^{4}=5.0625$，可以省掉一切關於四捨五入的疑慮。