計算四列分別為 (18,5,7,8)、(18,3,4,4)、(9,1,1,1)、(9,2,3,4) 的 4×4 矩陣的行列式。

Step-by-step solution

1. 1

   先化簡再展開。 對一個 $4\times 4$ 盲目做餘因子展開，需要算四個 $3\times 3$ 行列式。把某一列的倍數加到另一列上，行列式保持不變，所以先造出一個只剩單一非零元的行，成本低得多。

2. 2

   用第 3 列把第一行清乾淨。 第 $3$ 列的首項是 $9$，而其他三列的首項分別是 $18$、$18$、$9$，所以

   $R_1\leftarrow R_1-2R_3,\qquad R_2\leftarrow R_2-2R_3,\qquad R_4\leftarrow R_4-R_3$

   得到

   $\begin{vmatrix}0&3&5&6\\0&1&2&2\\9&1&1&1\\0&1&2&3\end{vmatrix}$

3. 3

   沿第一行展開。 只有 $(3,1)$ 位置的 $9$ 留了下來，它的餘因子符號是 $(-1)^{3+1}=+1$：

   $\det=9\begin{vmatrix}3&5&6\\1&2&2\\1&2&3\end{vmatrix}$

   （這個子式取的是化簡後矩陣的第 $1,2,4$ 列與第 $2,3,4$ 行。）

4. 4

   算出這個 3×3 子式。 第 $3$ 列減去第 $2$ 列得到 $(0,0,1)$，再沿該列展開：

   $\begin{vmatrix}3&5&6\\1&2&2\\0&0&1\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}3&5\\1&2\end{vmatrix}=3(2)-5(1)=1$

5. 5

   乘回去。

   $\det=9\times 1=9$

   $\boxed{9}$

6. 6

   沿第三列直接做餘因子展開來驗算。 把原矩陣沿 $(9,1,1,1)$ 展開，會得到 $9M_{31}-1\cdot M_{32}+1\cdot M_{33}-1\cdot M_{34}$（各項配上該有的符號）；照做算完同樣得到 $9$。兩條獨立路徑吻合，正是用來確認列運算沒有把某個符號弄錯的檢驗。