解不等式 x² − 2x > 3。

Step-by-step solution

1. 1

   先把所有項移到同一邊。 只有當不等式是拿一個式子和零比較時，符號分析才行得通：

   $x^2-2x-3>0$

2. 2

   把二次式因式分解。 兩個數乘積是 $-3$、和是 $-2$，就是 $-3$ 與 $1$：

   $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)>0$

3. 3

   找出分界點。 兩個因式分別在 $x=3$ 與 $x=-1$ 為零，把數線切成三個區間：$(-\infty,-1)$、$(-1,3)$ 與 $(3,\infty)$。

4. 4

   判斷每個區間的符號。 當 $x<-1$ 兩個因式都是負的，乘積為正；在兩根之間兩個因式異號，乘積為負；當 $x>3$ 兩個都是正的。從圖形也能得到同樣的結論：開口向上的拋物線在兩根之外位於軸的上方。

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   寫出解並檢查。 我們要的是乘積為正，所以

   $x<-1\quad\text{或}\quad x>3,\qquad\text{即 }(-\infty,-1)\cup(3,\infty)$

   測試 $x=-2$：$4+4=8>3$ $\checkmark$。測試 $x=0$：$0>3$ 不成立 $\checkmark$。測試 $x=4$：$16-8=8>3$ $\checkmark$。端點要排除，因為在那裡 $x^2-2x=3$ 恰好相等。