解方程式 (1/3)(x − 3)² + (1/6)(x + 2)² = (x/2 − 1)(x/2 + 1) + (1/4)(x − 2)²。

Step-by-step solution

1. 1

   先把左邊展開。 $(x-3)^2=x^2-6x+9$，$(x+2)^2=x^2+4x+4$，所以左邊是 $\frac{1}{3}x^2-2x+3+\frac{1}{6}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}$。

2. 2

   在左邊合併同類項。 $\frac13x^2+\frac16x^2=\frac12x^2$；$-2x+\frac23x=-\frac43x$；$3+\frac23=\frac{11}{3}$。於是左邊化為 $\frac12x^2-\frac43x+\frac{11}{3}$。

3. 3

   展開右邊，其中一項用平方差公式。 $\left(\frac12x-1\right)\left(\frac12x+1\right)=\frac14x^2-1$，而 $\frac14(x-2)^2=\frac14x^2-x+1$。兩者相加得 $\frac12x^2-x$，因為常數 $-1$ 與 $+1$ 恰好抵消。

4. 4

   注意兩邊的二次項一模一樣。 兩邊都恰好帶著 $\frac12x^2$，把它減掉之後就只剩下一次方程式 $-\frac43x+\frac{11}{3}=-x$。這正是這道題比它的次數看起來要簡單的原因：它骨子裡是一次的。

5. 5

   解這個一次方程式。 兩邊同加 $\frac43x$：$\frac{11}{3}=-x+\frac43x=\frac13x$。再乘以 $3$ 得 $x=11$。

6. 6

   代入 $x=11$ 驗證。 左邊：$\frac13(8)^2+\frac16(13)^2=\frac{64}{3}+\frac{169}{6}=\frac{297}{6}=\frac{99}{2}$。右邊：$\left(\frac{9}{2}\right)\left(\frac{13}{2}\right)+\frac14(9)^2=\frac{117}{4}+\frac{81}{4}=\frac{198}{4}=\frac{99}{2}$。兩邊完全相等。