展開並化簡 (10x³ + 3x + 8)(4x³ − 8x − 9)。

Step-by-step solution

1. 1

   **先規劃展開方式。**兩個因式各有三項，所以分配律會產生 $3\times 3=9$ 個乘積。注意兩個因式都沒有 $x^{2}$ 項 —— 缺掉的那個次數正是正負號與記帳最容易出錯的地方，所以要明確地追蹤次數。

2. 2

   分配領導項 $10x^{3}$。

   $10x^{3}\left(4x^{3}-8x-9\right)=40x^{6}-80x^{4}-90x^{3}$

3. 3

   分配中間項 $3x$。

   $3x\left(4x^{3}-8x-9\right)=12x^{4}-24x^{2}-27x$

4. 4

   分配常數項 $8$。

   $8\left(4x^{3}-8x-9\right)=32x^{3}-64x-72$

5. 5

   **把九個項按次數合併。**逐個次數對齊排列：

   $\begin{aligned}x^{6}&:\ 40x^{6}\\ x^{5}&:\ \text{無}\\ x^{4}&:\ -80x^{4}+12x^{4}=-68x^{4}\\ x^{3}&:\ -90x^{3}+32x^{3}=-58x^{3}\\ x^{2}&:\ -24x^{2}\\ x&:\ -27x-64x=-91x\\ \text{常數}&:\ -72\end{aligned}$

6. 6

   **寫出結果並檢查頭尾。**展開式是

   $40x^{6}-68x^{4}-58x^{3}-24x^{2}-91x-72$

   兩個快速檢查：領導係數必須是 $10\times 4=40$ ✓，常數項必須是 $8\times(-9)=-72$ ✓。第三個檢查是在 $x=1$ 比較兩種形式：因式相乘得 $(10+3+8)(4-8-9)=21\times(-13)=-273$，展開式得 $40-68-58-24-91-72=-273$ ✓