展開 (x²y + 5y² − 5 − 2y³ − 2x + 6y − 5y⁴) 乘 5y²。

Step-by-step solution

1. 1

   **先看清楚這個單項式對每一項做了什麼。**乘上 $5y^{2}$ 會把每個係數乘以 $5$，不動 $x$ 的次方，並把 $y$ 的次方恰好升高 $2$。記住這條規則，七次乘法就變成七個小改動。

2. 2

   處理含 x 的兩項。

   $\left(x^{2}y\right)\left(5y^{2}\right)=5x^{2}y^{3},\qquad (-2x)\left(5y^{2}\right)=-10xy^{2}.$

3. 3

   **處理常數項。**常數帶著 $y^{0}$，所以它會變成 $y^{2}$ 項：

   $(-5)\left(5y^{2}\right)=-25y^{2}.$

   這是最常被漏掉的一項 —— 常數也是一項。

4. 4

   處理四個純 y 次方項。

   $\left(5y^{2}\right)\left(5y^{2}\right)=25y^{4},\qquad \left(-2y^{3}\right)\left(5y^{2}\right)=-10y^{5},$
   $(6y)\left(5y^{2}\right)=30y^{3},\qquad \left(-5y^{4}\right)\left(5y^{2}\right)=-25y^{6}.$

5. 5

   把七項按合理的順序排好。

   $5x^{2}y^{3}-10xy^{2}-25y^{6}-10y^{5}+25y^{4}+30y^{3}-25y^{2}.$

   最高次數是 $6$，來自 $-5y^{4}$ 那一項，所以乘上 $5y^2$ 之後多項式的次數如預期升高了 $2$。

6. 6

   **代入檢查。**在 $x=y=1$ 時括號是 $1+5-5-2-2+6-5=-2$，而 $5y^2=5$，所以乘積應該是 $-10$。把答案的七項在 $x=y=1$ 相加：$5-10-25-10+25+30-25=-10$ ✓。