求滿足 −√12/2 − √27/9 + √75/15 + √108 = k√3 的有理數 k。

Step-by-step solution

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   把每個根號都化成 √3 的倍數。 每個被開方數都是 $3$ 乘上一個完全平方數，所以四項都是同類方根——這正是這個和能寫成 $k\sqrt3$ 的原因：

   $\sqrt{12}=2\sqrt3,\quad \sqrt{27}=3\sqrt3,\quad \sqrt{75}=5\sqrt3,\quad \sqrt{108}=6\sqrt3$

2. 2

   代回原式。

   $-\frac{2\sqrt3}{2}-\frac{3\sqrt3}{9}+\frac{5\sqrt3}{15}+6\sqrt3$

3. 3

   把每個係數約簡。

   $-\sqrt3-\frac{\sqrt3}{3}+\frac{\sqrt3}{3}+6\sqrt3$

   中間兩項恰好互為相反數而抵銷——這是題目刻意設計的，也提醒我們先約簡再去通分。

4. 4

   把剩下的項合併。

   $(-1+6)\sqrt3=5\sqrt3$

5. 5

   讀出 k。

   $\boxed{k=5}$

6. 6

   數值驗算。 取 $\sqrt3\approx 1.7320508$：$-\tfrac{3.4641}{2}=-1.7321$、$-\tfrac{5.1962}{9}=-0.5774$、$+\tfrac{8.6603}{15}=+0.5774$、$+10.3923$。總和是 $8.6603=5\sqrt3$ ✓。