解 3x⁴ + 18x³ + 38x² + 32x + 12 = 0。這個方程式有實數解嗎？

Step-by-step solution

1. 1

   先試最明顯的候選根——然後把它們排除。 這些係數看起來像是 $3(x+1)^{2}(x+2)^{2}$ 展開出來的，而這個猜測代入就能檢驗：

   $f(-1)=3-18+38-32+12=3,\qquad f(-2)=48-144+152-64+12=4.$

   兩個都不是零，所以 $x=-1$ 與 $x=-2$ 都不是根。把猜測展開就知道原因：$3(x+1)^{2}(x+2)^{2}=3x^{4}+18x^{3}+39x^{2}+36x+12$，它與題目的多項式在 $x^{2}$ 項和 $x$ 項上不一樣。

2. 2

   排除每一個有理根。 由有理根定理，任何有理根都形如 $\pm\frac{p}{q}$，其中 $p\mid 12$ 且 $q\mid 3$，也就是 $\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12,\pm\tfrac13,\pm\tfrac23,\pm\tfrac43$ 之一。所有係數都是正的，所以對每個 $x\ge 0$ 都有 $f(x)>0$，只需要檢驗負的候選值——而每一個代進去都不是零。這裡沒有有理根，事實上也沒有有理係數的二次因式分解。

3. 3

   在四次式的層級上配方。 找一個常數 $a$，使 $f(x)-3(x^{2}+3x+a)^{2}$ 剛好是正定的二次式。由於

   $3(x^{2}+3x+a)^{2}=3x^{4}+18x^{3}+(27+6a)x^{2}+18ax+3a^{2},$

   取 $a=\tfrac32$ 恰好剩下

   $f(x)=3\left(x^{2}+3x+\tfrac32\right)^{2}+2x^{2}+5x+\tfrac{21}{4}.$

4. 4

   證明剩下的二次式恆為正。 對 $2x^{2}+5x+\tfrac{21}{4}$ 來說，判別式是

   $25-4(2)\left(\tfrac{21}{4}\right)=25-42=-17<0,$

   而它的最小值是 $\tfrac{21}{4}-\tfrac{25}{8}=\tfrac{17}{8}$。因為第一項是一個平方再乘上 $3$，永遠不會是負的，所以

   $f(x)\ge \tfrac{17}{8}>0\quad\text{對每個實數 }x.$

   一個永遠碰不到零的四次式沒有實根。

5. 5

   用數值方法定出四個複數根。 因為係數都是實數，根會成共軛對出現。數值求解得

   $x\approx-2.384922\pm 0.678668i,\qquad x\approx-0.615078\pm 0.521776i.$

   用根與係數關係檢驗：四個根的和是 $-6=-\tfrac{18}{3}$ ✓，乘積是 $4=\tfrac{12}{3}$ ✓。對應的實係數因式分解是 $3(x^{2}+4.76984x+6.14844)(x^{2}+1.23016x+0.65057)$，兩個因式的係數都不是有理數。