解不等式 5a² + 4a − 12 > 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先求對應方程式的根。 用公式解 $5a^2+4a-12=0$，$a$ 的三個係數依序是 $5$、$4$、$-12$：

   $\Delta=4^2-4(5)(-12)=16+240=256$

2. 2

   利用它是完全平方數這一點。 $\sqrt{256}=16$，所以兩根都是有理數：

   $a=\frac{-4\pm 16}{10}\quad\Longrightarrow\quad a=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}\ \text{或}\ a=\frac{-20}{10}=-2$

   等價地說，$5a^2+4a-12=(5a-6)(a+2)$。

3. 3

   看開口方向。 最高次項係數 $5$ 為正，拋物線開口向上，所以這個式子在兩根之外為正、在兩根之間為負。

4. 4

   把兩根排序後寫出答案。 由於 $-2<\tfrac65$：

   $a<-2\quad\text{或}\quad a>\frac{6}{5},\qquad\text{即 }(-\infty,-2)\cup\left(\tfrac65,\infty\right)$

5. 5

   每個區間各取一個值檢查。 取 $a=-3$：$45-12-12=21>0$ $\checkmark$。取 $a=0$：$-12>0$ 不成立 $\checkmark$。取 $a=2$：$20+8-12=16>0$ $\checkmark$。取 $a=\tfrac65$：$5\cdot\tfrac{36}{25}+\tfrac{24}{5}-12=\tfrac{36}{5}+\tfrac{24}{5}-12=0$，嚴格不等式正確地把它排除在外。