解方程式 9^(x − 1/2) − 4/3^(1 − x) = −1。

Step-by-step solution

1. 1

   **把所有東西改寫成同一個底。**因為 $9=3^{2}$，

   $9^{\,x-\frac12}=\left(3^{2}\right)^{x-\frac12}=3^{\,2x-1}.$

   指數相乘正是清掉那個礙事的 $\tfrac12$ 的關鍵：$2\left(x-\tfrac12\right)=2x-1$ 是整數的平移。

2. 2

   **用負指數把分數移到分子上。**因為 $\frac{1}{3^{\,1-x}}=3^{\,x-1}$，

   $\frac{4}{3^{\,1-x}}=4\cdot3^{\,x-1},$

   方程式就變成

   $3^{\,2x-1}-4\cdot3^{\,x-1}=-1.$

   現在兩個指數在 $x$ 的部分差了兩倍，這正是換元可以把問題線性化的訊號。

3. 3

   **令 $t=3^{\,x-1}$。**此時自動有 $t>0$，而且

   $3^{\,2x-1}=3^{\,2(x-1)+1}=3\left(3^{\,x-1}\right)^{2}=3t^{2}.$

   把多出來的因數 $3$ 弄對是整題的關鍵：$2x-1$ 是 $2(x-1)+1$，而不是 $2(x-1)$。

4. 4

   **解二次方程式。**方程式成為 $3t^{2}-4t=-1$，也就是

   $3t^{2}-4t+1=0\;\Longrightarrow\;(3t-1)(t-1)=0\;\Longrightarrow\;t=\tfrac13\ \text{或}\ t=1.$

   兩個根都是正的，所以都不必捨去 —— 這值得檢查，因為負的或零的 $t$ 永遠不可能等於 $3$ 的次方。

5. 5

   **還原換元並驗算。**由 $3^{\,x-1}=\tfrac13=3^{-1}$ 得 $x-1=-1$，所以 $x=0$；由 $3^{\,x-1}=1=3^{0}$ 得 $x=1$。代回原方程式檢查：在 $x=0$，$9^{-1/2}-\tfrac{4}{3}=\tfrac13-\tfrac43=-1$ ✓；在 $x=1$，$9^{1/2}-\tfrac{4}{3^{0}}=3-4=-1$ ✓。