將 x² + x + 1 分解：能在實數範圍就在實數範圍，否則在複數範圍分解。

Step-by-step solution

1. 1

   用判別式排除實數分解。 取 $a=b=c=1$：

   $\Delta=b^{2}-4ac=1-4=-3<0$

   沒有實根，所以 $x^{2}+x+1$ 在 $\mathbb{R}$ 上不可分解。配方可以建構性地再確認一次：$x^{2}+x+1=\left(x+\tfrac12\right)^{2}+\tfrac34\ge\tfrac34>0$，所以這個式子永遠碰不到零。

2. 2

   求出複數根。

   $x=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$

   是一對共軛複數，實係數的情況一向如此。

3. 3

   寫出在 $\mathbb{C}$ 上的分解。

   $x^{2}+x+1=\left(x-\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)\left(x-\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\right)=\left(x+\frac12-\frac{i\sqrt3}{2}\right)\left(x+\frac12+\frac{i\sqrt3}{2}\right)$

4. 4

   用根與係數關係驗算。 兩根之和是 $\dfrac{-1+i\sqrt3}{2}+\dfrac{-1-i\sqrt3}{2}=-1=-\dfrac{b}{a}$ ✓，兩根之積是 $\dfrac{(-1)^{2}-\left(i\sqrt3\right)^{2}}{4}=\dfrac{1+3}{4}=1=\dfrac{c}{a}$ ✓，所以把乘積展開會準確地回到 $x^{2}+x+1$。把任一根代回去，殘差都小於 $10^{-15}$ ✓。

5. 5

   認出這兩個根就是三次單位根。 因為

   $x^{3}-1=(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)\qquad\Longrightarrow\qquad x^{2}+x+1=\frac{x^{3}-1}{x-1}$

   這兩個根恰好是 $1$ 的三次方根中，$1$ 以外的那兩個——通常寫成 $\omega$ 與 $\omega^{2}$。數值檢查確認 $\omega^{3}=1$ 且 $\omega^{2}+\omega+1=0$，誤差都在 $10^{-15}$ 以內 ✓。這個恆等式也說明了為什麼只要分解立方差，$x^{2}+x+1$ 就會出現。