當 (1 + x) 的 27 次方到 36 次方這十個冪次相加等於 20 時，求 x。

Step-by-step solution

1. 1

   代換 $y=1+x$，並提出最低次冪。 十個指數是連續的，所以

   $y^{27}\bigl(1+y+y^2+\cdots+y^{9}\bigr)=20$

   這是關鍵的一步：不這樣做，面對的是 36 次多項式；這樣做之後，面對的是等比級數。

2. 2

   用等比級數公式把括號收合。 當 $y\ne 1$ 時，

   $1+y+\cdots+y^{9}=\frac{y^{10}-1}{y-1}\quad\Longrightarrow\quad y^{27}\cdot\frac{y^{10}-1}{y-1}=20$

   沒有有理根能通過這一關——$y=1$ 得 $10$，$y=2$ 得超過 $10^{10}$——所以只能用數值方法定位根。

3. 3

   用變號夾出正的那個根。 記 $S(y)=y^{27}+\cdots+y^{36}$。則 $S(1)=10<20$，而

   $S(1.05)=1.05^{27}\cdot\frac{1.05^{10}-1}{0.05}=46.959>20$

   所以有一個根落在 $(1,1.05)$ 之內。二分法算到小數第七位得 $y=1.0221841$，也就是 $x=0.0221841$，此時 $S(1.0221841)=19.99997$。

4. 4

   把正負號的規律寫明白，找出第二個實根。 令 $y=-u$ 且 $u>0$，交錯的正負號恰好可以重新分組成

   $S(-u)=u^{27}(u-1)\bigl(1+u^2+u^4+u^6+u^8\bigr)$

   它在 $0<u<1$ 時為負，在 $u=1$ 時為零（與 $S(-1)=0$ 相符），在 $u>1$ 時嚴格遞增，所以恰好與 $20$ 相交一次。二分法得 $u=1.1184421$，此時分解後的式子算出 $19.99998$；於是 $y=-1.1184421$，$x=-2.1184421$。

5. 5

   論證沒有其他實根。 在 $y>0$ 的範圍，每一項 $y^k$ 都遞增，所以 $S$ 從 $0$ 嚴格上升到 $\infty$，只與 $20$ 交會一次。在 $y<0$ 的範圍，上面分解後的式子過了 $u=1$ 之後是單調的，而 $u\le 1$ 時永遠達不到 $20$。實根總共兩個；這個 36 次多項式其餘的 $34$ 個根都是複數根。

6. 6

   把答案換回 $x$。 把代換還原，$x=y-1$：

   $x\approx 0.0221841\qquad\text{或}\qquad x\approx -2.1184421$