解三次方程式 x³ − 3x + 2 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先找有理根。 由有理根定理，任一有理根都必須整除常數項 $2$，所以候選是 $\pm1,\pm2$。試 $x=1$：

   $1-3+2=0\ \checkmark$

   所以 $x=1$ 是根，$(x-1)$ 是因式。注意式中缺了 $x^2$ 項，代表它的係數是 $0$——做除法時必須把這個佔位的零帶進去。

2. 2

   用綜合除法除以 (x − 1)。 係數依序是 $1,\ 0,\ -3,\ 2$，除式的根是 $1$：

   $1\ \to\ 0+1=1\ \to\ -3+1=-2\ \to\ 2-2=0$

   最後那個 $0$ 就是餘式，確認了這個根；商式則是 $x^2+x-2$：

   $x^3-3x+2=(x-1)\left(x^2+x-2\right)$

3. 3

   分解這個二次式。 乘積為 $-2$、和為 $+1$ 的兩數是 $+2$ 與 $-1$：

   $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$

4. 4

   把重複出現的因式收攏。 因式 $(x-1)$ 出現了兩次：

   $x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$

   這正是重根的訊號——與其把 $x=1$ 列成兩次、彷彿是兩個不同的答案，不如明白地說它是重根。

5. 5

   讀出解。

   $x=1\ \text{（重數 2）},\qquad x=-2$

   三次方程式連重數一起算共有三個根，所以這樣就全部交代完畢。

6. 6

   從圖形理解這個重根。 在重數為偶數的根處，曲線只碰到軸而不穿過：$x=1$ 是 $f(x)=x^3-3x+2$ 的局部極小點（確實 $f'(x)=3x^2-3=0$ 在 $x=1$ 成立，所以 $f$ 與 $f'$ 在該處同時為零）。而在 $x=-2$ 處，圖形則是正常地穿過。

7. 7

   驗證因式分解與各個根。 在 $-40$ 到 $39$ 的每一個整數上比較 $x^3-3x+2$ 與 $(x-1)^2(x+2)$，結果完全相同 ✓；代入 $x=1$ 與 $x=-2$ 也各自恰好得到 $0$ ✓。根與係數關係同樣吻合：三根之和為 $1+1-2=0=-b/a$ ✓。