解 7(x + 1/x) − 2(x² + 1/x²) = 9。

Step-by-step solution

1. 1

   看出倒數對稱性。 把 $x$ 換成 $\tfrac1x$ 方程式不變，這就是要作變數代換的訊號：

   $t=x+\frac1x$

   注意 $x=0$ 一開始就被排除在定義域外。

2. 2

   把第二個括號用 t 表示。 把代換式平方：

   $t^{2}=x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}-2$

   產生 $+2$ 的那個交叉項，是最容易漏掉的細節。

3. 3

   改寫並整理方程式。

   $7t-2\left(t^{2}-2\right)=9\ \Longrightarrow\ 7t-2t^{2}+4=9\ \Longrightarrow\ 2t^{2}-7t+5=0$

4. 4

   解出 t。

   $(2t-5)(t-1)=0\quad\Longrightarrow\quad t=\frac52\ \text{或}\ t=1$

5. 5

   把每個 t 值還原回 x。 對 $t=\tfrac52$：

   $x+\frac1x=\frac52\ \Longrightarrow\ 2x^{2}-5x+2=0\ \Longrightarrow\ (2x-1)(x-2)=0\ \Longrightarrow\ x=\tfrac12\ \text{或}\ x=2$

   對 $t=1$：

   $x+\frac1x=1\ \Longrightarrow\ x^{2}-x+1=0$

   判別式為 $1-4=-3<0$：沒有實數解。這個捨去是必然的，因為對實數 $x\neq 0$，$x+\tfrac1x$ 恆滿足 $|t|\ge 2$，而 $t=1$ 違反了這一點。

   $\boxed{x=2\ \text{或}\ x=\tfrac12}$

6. 6

   兩個根都驗算。 取 $x=2$：$x+\tfrac1x=2.5$、$x^{2}+\tfrac{1}{x^{2}}=4.25$，所以 $7(2.5)-2(4.25)=17.5-8.5=9$ ✓。取 $x=\tfrac12$ 時這兩個量的值完全相同（倒數對稱），所以驗算結果一模一樣 ✓。