解方程式 x^2 - 4x + 3 = 0。

Step-by-step solution

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   先試因式分解，再考慮公式解。 對首項係數為一的二次式，要找兩個數，乘積是常數項 $3$、和是一次項係數 $-4$。正負號決定了搜尋範圍：乘積為正而和為負，代表兩個數都是負的。

2. 2

   找出這一對數。 $3$ 唯一的負因數對是 $(-1,-3)$，而且剛好合用：

   $(-1)(-3)=3\ \checkmark\qquad -1+(-3)=-4\ \checkmark$

   所以

   $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$

3. 3

   套用零因子性質。 兩個實數的乘積為零，只可能是至少有一個因式為零：

   $(x-1)(x-3)=0\qquad\Longrightarrow\qquad x-1=0\ \text{ 或 }\ x-3=0$

   這一步只有在右邊是 $0$ 的時候才成立——這就是為什麼要先把所有項移到同一邊。

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   分別解出每個因式。

   $x=1\qquad\text{或}\qquad x=3$

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   兩根都驗證。 代 $x=1$：$1-4+3=0$ ✓。代 $x=3$：$9-12+3=0$ ✓。根與係數關係也吻合：兩根之和為 $4=-b/a$、乘積為 $3=c/a$ ✓。

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   看一下圖形。 這條拋物線開口向上，與 x 軸交於 $1$ 與 $3$，所以頂點在兩根的中點 $x=2$，該處 $y=4-8+3=-1$——這就是最小值。由此也可知 $x^2-4x+3<0$ 恰好發生在 $(1,3)$ 上。